La historia de la matemática ha estado marcada por enigmas que han desafiado a generaciones de pensadores. Uno de los más intrigantes es el planteado por el filósofo y matemático francés René Descartes en 1643. En una carta dirigida a la princesa Isabel del Palatinado, Descartes presentó lo que hoy conocemos como el “Teorema de Descartes”, una relación que vincula las curvaturas de cuatro círculos mutuamente tangentes. La famosa frase que resume su descubrimiento, “la suma de los cuadrados de las cuatro curvaturas es la mitad del cuadrado de su suma”, fue popularizada por el Nobel Frederik Soddy en 1936, pero la verdadera dificultad radicaba en la falta de explicación del razonamiento detrás de su solución.
A pesar de la claridad matemática del teorema, el propio Descartes no logró formular una expresión que funcionara para más de cuatro círculos. Su intuición le decía que debía existir una solución general, pero la ausencia de una demostración dejó a los matemáticos luchando con este problema durante casi cuatro siglos. Recientemente, un equipo de investigadores de la Universidad de Monash en Australia, compuesto por Daniel Mathews y Orion Zymaris, ha dado un paso significativo hacia la resolución de este antiguo dilema utilizando un enfoque innovador: la física teórica.
En lugar de recurrir a las herramientas tradicionales de la geometría, Mathews y Zymaris optaron por emplear “espinores”, objetos matemáticos que, para regresar a su posición original, requieren un giro de 720 grados. Esta técnica, desarrollada por científicos como Roger Penrose y Wolfgang Rindler, permitió a los investigadores reinterpretar los círculos como entidades algebraicas que pueden sufrir transformaciones geométricas. La aplicación de la teoría de la relatividad fue clave para el desarrollo de una fórmula general que describe agrupaciones de círculos tangentes de manera cada vez más compleja.
Lo fascinante de este enfoque radica en que no solo resuelve un problema histórico de la geometría, sino que también abre nuevas posibilidades para la investigación matemática en general. Como señala el divulgador científico Héctor Farrés, el uso de espinores permite un análisis que trasciende lo que se había hecho anteriormente en el campo. Esta innovación recuerda el momento en que Andrew Wiles demostró el Último Teorema de Fermat, un hito en la matemática moderna. En esa ocasión, se generó cierta desilusión debido a que el teorema se resolvió con herramientas matemáticas contemporáneas, lo que contrastaba con la búsqueda de una demostración que Fermat afirmaba haber encontrado pero nunca dejó por escrito.
Sin embargo, la diferencia en el caso de Descartes es fundamental. No existía una “demostración perdida” que los investigadores debieran recuperar, lo que significaba que el desafío consistía en crear una solución completamente nueva. Este hecho subraya el potencial de las matemáticas para abordar problemas abiertos mediante cualquier medio necesario, ya sea a través de la geometría tradicional o de métodos más contemporáneos.
A medida que avanza el trabajo de Mathews y Zymaris, la comunidad matemática sigue atenta. La resolución de este antiguo enigma no solo representa un triunfo intelectual, sino que también ofrece un nuevo marco de referencia para el estudio de las interacciones entre círculos, que podrían tener aplicaciones en diversas áreas, incluyendo la física y la ingeniería.
El descubrimiento de estos investigadores es un recordatorio de que, a pesar de los siglos que han transcurrido, la curiosidad y la creatividad humanas continúan siendo motores de avance en el entendimiento de nuestro mundo. Así, la historia de la matemática sigue escribiéndose, con nuevos capítulos que desafían las nociones establecidas y abren puertas a un futuro lleno de posibilidades.
